O Número de Ouro

Proporção áurea, ou número de ouro é um número irracional, alguns afirmam ser o primeiro numero irracional daquele tempo, misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta de Deus ao mundo. O seu valor numérico é aproximadamente 1,618.
Na antiguidade, mas preciso no Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea. O numero de ouro esta entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide. O Papiro de Rhind (Egípcio) refere-se a uma razão que se crê ser o número de ouro. Esta razão ou secção áurea surge também muitas estátuas da antiguidade.
O Partenon Grego construído ente 447 e 433 a.c templo representativo do século de Péricles, a razão de ouro esta no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa. O responsável por essa grandiosa construção foi escultor e arquiteto Fídias. A letra grega que é designada para representar o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto (Phi maiúsculo).
Como a construção de um retângulo, onde os lados representavam uma harmonia estética, os lados tem uma razão entre si igual ao numero de ouro, que pode ser dividido em um quadrado e outro retângulo, e que se tem a razão entre os dois lados iguais ao numero de ouro. O processo pode ser continuado e se mantém em uma razão constante.
No dominio da arte podemos observar que o retângulo de ouro é um objecto matematico muito utilozado, notadamente na arquitectura, na pintura, e até na publicidade. Este facto não é uma simples coincidência já que muitos testes psicológicos demonstraram que o rectângulo de ouro é de todos os rectângulos o mais agradável à vista. Existem hoje inumero exemplos onde o retangulo de ouro aparece, nas situaçoes do quotidiano, como os cartoes de credito, bilhetes de identidade.
As estrelas pentagonais, construídas pelos pitagóricos também usavam a secção de ouro. Um pentagrama regular é obtido traçando-se diagonais de um pentágono regular. O pentágono menor, formado pelas intersecções das diagonais, também está em proporção com o pentágono maior, de onde se originou o pentagrama. A razão entre as medidas das áreas dos dois pentágonos é igual à quarta potência da razão áurea Chamando os vértices de um pentagrama de A, B, C, D e E, o triângulo isóscele formado por A, C e D tem os seus lados em relação dourada com a base, e o triângulo isósceles A, B, e C tem a sua base em relação dourada com os lados.
Endoxus criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro.
Fibonacci, através de uma analise da procriação de coelhos observou, e chegou a um numero, o numero de ouro, publicada em seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci.
Pacioli, é outro matemático que contribuiu para o estudo e divulgação do número de ouro. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro a ter um retrato autêntico. Publicou em 1509 uma edição que teve pouco sucesso de Euclides e um trabalho com o título De Divina Proportione. Este trabalho dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a razão de ouro.
As contribuições deixadas por Leonardo da Vinci, foram nas suas obras pinturas, desenhos que mostram seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um gênio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o número de ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.

Pares e Impares

Para os pitagóricos, a existência das coisas tinha uma ligação com números, que significavam harmonia. A soma dos números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação, criando a teoria da harmonia das esferas (o cosmos é regido por relações matemáticas).
Segundo dados extraídos do site http://www.ime.usp.br/leo/imatica/historia/parimpar.html, texto de Valéria Ostete Jannis Luchetta; supervisão e orientação: prof. Doutor Francisco César Polcino Milies, temos uma definição para número par:
Par é o número que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e ímpar é aquele que não pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre há uma unidade no meio.
Número par é aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divisões haja uma mistura da natureza par com a natureza ímpar, nem da ímpar com a par. Isto tem uma única exceção, que é o princípio do par, o número 2, que não admite a divisão em partes desiguais, porque ele é formado por duas unidades e, se isto pode ser dito, do primeiro número par, 2.
Pegamos o exemplo do numero 12 que é par. Assim podemos considerar que a soma de dois números é par, (6+6), (4+8) ou com ímpares (7+5), (3+9), observamos que para obter resultado par teremos sempre somas de par com par, ou ímpar com ímpar. Já no caso do número 11 ( número impar), a soma sempre será de par com ímpar, exemplo (10+1), (8+3), (6+5).
Em uma consideração geral, podemos dizer que os números pares são aqueles que divididos por 2 tem resto 0, e os números ímpares são aqueles que divididos por dois tem resto diferentes de 0.

Os números Reias

O conceito de Infinito

O conceito de infinito sempre provocou grandes discussões em os matemáticos. Já no século V a.c., o filósofo grego Zenão, utilizando a idéia de infinito, conseguiu produzir paradoxos famosos, como o de Aquiles não ser capaz de alcançar a tartaruga. Galileu Galilei (1564 – 1642) foi a primeira pessoa a chamar a atenção para os conjuntos infinitos no seu trabalho “Diálogo Referente às Novas Ciências”, em 1636. Os personagens do “Diálogo de Galileu”; Salviati dizia que era tão fácil decompor um segmento de reta em infinitas partes quanto dividi-lo em um número finito de partes. Ele dizia que para separar as partes bastava marcar os pontos de divisão.
Galileu afirma por meio de Salviati que infinitos e indivisíveis ultrapassam nosso entendimento finito, os primeiros por causa de sua grandeza e o segundo por ser pequeno demais. Salviati levou Simplício do infinito em geometria ao infinito em aritmética, observando que pode ser estabelecida uma correspondência um a um, entre todos os inteiros positivos e os quadrados perfeitos, embora, quanto mais longa seja a seqüência dos inteiros positivos, mais raro se tornam os quadrados perfeitos. O expediente de contar os quadrados perfeitos, uma correspondência biunívoca é estabelecida entre os inteiros positivos e os quadrados perfeitos,e vice-versa. Mesmo que haja muitos inteiros positivos que não são quadrados perfeitos, observamos que existem tantos inteiros positivos quanto quadrados perfeitos.
Galileu abordou a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos afirmando que uma parte pode equivaler ao todo, porém não chegou a mesma conclusão que Salviati, embora tivesse concluído corretamente que o número de quadrados perfeitos não é menor que o número de inteiros positivos, não tinha argumentos para afirmar que esses conjuntos possuíam o mesmo número de elementos. Porém, ele concluiu simplesmente que “os atributos iguais, maior e menor não se aplicam ao infinito, mas somente a quantidades finitas”. Por outro lado, afirmou incorretamente, que um número infinito é maior que outro número infinito e que um número infinito é maior que um número finito.
O alemão Bernard Bolzano (1781 –1848) intitulado “Os paradoxos do infinito”, A Bolzano foi creditada à criação do conceito potência de um conjunto, que é o seguinte: dois conjuntos têm a mesma potência se existe uma bijeção entre eles. Após “Os Paradoxos de Bolzano”, em 1878, J.W.R. Dedekind (1831 –1916) foi o primeiro a ver nos paradoxos não uma anomalia, mas uma propriedade universal dos conjuntos infinitos que a tomou como uma definição precisa, onde constava: “um conjunto S de elementos é infinito se os elementos de um subconjunto próprio de S podem ser postos em correspondência biunívoca com os elementos de S”.
George Cantor (1845 – 1918) estudou o conceito de potência de um conjunto, concluindo que os conjuntos infinitos não são todos iguais. Mostrou que as frações racionais são densas, que entre duas quaisquer, por mais próximas que estejam, há sempre outra; e que o conjunto das frações tem a mesma potência que a dos números inteiros. Começava-se a pensar que todos os conjuntos infinitos tinham a mesma potência, porém Cantor provou que isso não era verdade, pois o conjunto de todos os números reais tem potência maior que o conjunto dos números racionais.
Cantor afirmava que os números reais podiam ser subdivididos em dois modos diferentes (1) como racionais e irracionais ou (2) como algébricos e transcendentes. Mostrou também que mesmo a classe dos números algébricos, que é muito mais geral que os racionais, têm a mesma potência dos números inteiros. Portanto, são os números transcendentes que dão ao sistema dos números reais a “densidade” que resulta em maior potência. Os incríveis resultados de Cantor o levaram a estabelecer a Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida, além de construir grande parte da aritmética transfinita.
A potência de um conjunto tornou-se o número cardinal do conjunto. Assim, o número cardinal do conjunto dos inteiros era o “menor” número transfinito E, e o número cardinal do conjunto dos números reais ou dos pontos de uma reta é um número “maior” C, denominado se número do contínuo. Ainda não temos respostas quanto à questão da existência ou não de números transfinitos entre E e C, mas Cantor provou que existem infinitos números transfinitos para além de C, pois demonstrou que o conjunto dos subconjuntos de um conjunto sempre tem potência maior que o próprio conjunto.
Logo, o número do conjunto dos subconjuntos de C é um terceiro número transfinito, eum quarto numero é determinado por subconjunto do subconjunto desse conjunto, e assim por diante, indefinidamente. Assim como há uma infinidade de números naturais, há infinitos números transfinitos.