O conceito de Infinito

O conceito de infinito sempre provocou grandes discussões em os matemáticos. Já no século V a.c., o filósofo grego Zenão, utilizando a idéia de infinito, conseguiu produzir paradoxos famosos, como o de Aquiles não ser capaz de alcançar a tartaruga. Galileu Galilei (1564 – 1642) foi a primeira pessoa a chamar a atenção para os conjuntos infinitos no seu trabalho “Diálogo Referente às Novas Ciências”, em 1636. Os personagens do “Diálogo de Galileu”; Salviati dizia que era tão fácil decompor um segmento de reta em infinitas partes quanto dividi-lo em um número finito de partes. Ele dizia que para separar as partes bastava marcar os pontos de divisão.
Galileu afirma por meio de Salviati que infinitos e indivisíveis ultrapassam nosso entendimento finito, os primeiros por causa de sua grandeza e o segundo por ser pequeno demais. Salviati levou Simplício do infinito em geometria ao infinito em aritmética, observando que pode ser estabelecida uma correspondência um a um, entre todos os inteiros positivos e os quadrados perfeitos, embora, quanto mais longa seja a seqüência dos inteiros positivos, mais raro se tornam os quadrados perfeitos. O expediente de contar os quadrados perfeitos, uma correspondência biunívoca é estabelecida entre os inteiros positivos e os quadrados perfeitos,e vice-versa. Mesmo que haja muitos inteiros positivos que não são quadrados perfeitos, observamos que existem tantos inteiros positivos quanto quadrados perfeitos.
Galileu abordou a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos afirmando que uma parte pode equivaler ao todo, porém não chegou a mesma conclusão que Salviati, embora tivesse concluído corretamente que o número de quadrados perfeitos não é menor que o número de inteiros positivos, não tinha argumentos para afirmar que esses conjuntos possuíam o mesmo número de elementos. Porém, ele concluiu simplesmente que “os atributos iguais, maior e menor não se aplicam ao infinito, mas somente a quantidades finitas”. Por outro lado, afirmou incorretamente, que um número infinito é maior que outro número infinito e que um número infinito é maior que um número finito.
O alemão Bernard Bolzano (1781 –1848) intitulado “Os paradoxos do infinito”, A Bolzano foi creditada à criação do conceito potência de um conjunto, que é o seguinte: dois conjuntos têm a mesma potência se existe uma bijeção entre eles. Após “Os Paradoxos de Bolzano”, em 1878, J.W.R. Dedekind (1831 –1916) foi o primeiro a ver nos paradoxos não uma anomalia, mas uma propriedade universal dos conjuntos infinitos que a tomou como uma definição precisa, onde constava: “um conjunto S de elementos é infinito se os elementos de um subconjunto próprio de S podem ser postos em correspondência biunívoca com os elementos de S”.
George Cantor (1845 – 1918) estudou o conceito de potência de um conjunto, concluindo que os conjuntos infinitos não são todos iguais. Mostrou que as frações racionais são densas, que entre duas quaisquer, por mais próximas que estejam, há sempre outra; e que o conjunto das frações tem a mesma potência que a dos números inteiros. Começava-se a pensar que todos os conjuntos infinitos tinham a mesma potência, porém Cantor provou que isso não era verdade, pois o conjunto de todos os números reais tem potência maior que o conjunto dos números racionais.
Cantor afirmava que os números reais podiam ser subdivididos em dois modos diferentes (1) como racionais e irracionais ou (2) como algébricos e transcendentes. Mostrou também que mesmo a classe dos números algébricos, que é muito mais geral que os racionais, têm a mesma potência dos números inteiros. Portanto, são os números transcendentes que dão ao sistema dos números reais a “densidade” que resulta em maior potência. Os incríveis resultados de Cantor o levaram a estabelecer a Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida, além de construir grande parte da aritmética transfinita.
A potência de um conjunto tornou-se o número cardinal do conjunto. Assim, o número cardinal do conjunto dos inteiros era o “menor” número transfinito E, e o número cardinal do conjunto dos números reais ou dos pontos de uma reta é um número “maior” C, denominado se número do contínuo. Ainda não temos respostas quanto à questão da existência ou não de números transfinitos entre E e C, mas Cantor provou que existem infinitos números transfinitos para além de C, pois demonstrou que o conjunto dos subconjuntos de um conjunto sempre tem potência maior que o próprio conjunto.
Logo, o número do conjunto dos subconjuntos de C é um terceiro número transfinito, eum quarto numero é determinado por subconjunto do subconjunto desse conjunto, e assim por diante, indefinidamente. Assim como há uma infinidade de números naturais, há infinitos números transfinitos.